题目内容
已知函数f(x)=
x2+lnx-1.(1)求函数f(x)在区间［1,e］(e为自然对数的底)上的最大值和最小值;
(2)求证:在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=
x3的图象的下方;
(3)求证:［f′(x)］n-f′(xn)≥2n-2(n∈N*).
(1)解:∵f′(x)=x+,1分当x∈［1,e］时,f′(x)＞0.
∴函数f(x)在［1,e］上为增函数.∴f(x)max=f(e)=e2,f(x)min=f(1)=
.
(２)证明:令F(x)=f(x)-g(x)=
x2+lnx-1-
x3,
则F′(x)=x+
-2x2=
=
∵当x＞1时F′(x)＜0,
∴函数F(x)在区间(1,+∞)上为减函数.∴F(x)＜F(1)=
-1-
＜0,
即在(1,+∞)上,f(x)＜g(x).
∴在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=
x3的图象的下方.
(3)证明:∵f′(x)=x+
,当n=1时,不等式显然成立;当n≥2时,
∵［f′(x)］n-f′(xn)=(x+
)n-(xn+
)=
xn-2+
xn-3+…+
,①
［f′(x)］n-f′(xn)=
+
+…+
xn-2.②
①+②得［f′(x)］n-f′(xn)=
［(xn-2+
)
+(xn-3+
)
+…+(xn-2+
)
］
≥
+
+…+
=2n-2(当且仅当x=1时“=”成立).
∴当n≥2时,不等式成立.综上所述得［f′(x)］n-f′(xn)≥2n-2(n∈N*).
练习册系列答案
步步高达标卷系列答案
相关题目