Question

已知函数f（x）=cos2x+

3

sin2x
①求f（x）的最小正周期及其单调区间；
②当x取何值时，f（x）取最大值？最大值是多少？
③在直角坐标系内，画出f（x）在一个周期内的图象．

Answer 1

分析：①f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调区间即可求出函数的单调区间；
②令这个角为2kπ+

π

2

，k∈Z，求出f（x）最大值时x的值，且求出最大值即可；
③在直角坐标系内，做出f（x）在一个周期内的图象，如图所示．

解答：解：f（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
①∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
其单调增区间为2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则f（x）的单调减区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
②当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，k∈Z时，f（x）取最大值，最大值为2；
③在直角坐标系内，画出f（x）在一个周期内的图象，如图所示；

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的图象与性质，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．