题目内容

已知f（x）=（1+x）^α（1+ $数学公式$ ）^β（α，β，x∈R⁺），
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果y＞0，求证：（ $数学公式$ ）^α+β≤（ $数学公式$ ）^α•（ $数学公式$ ）^β；
（3）如果α₁，α₂，…α_n，β₁，β₂，…β_n＞0，求证：（ $数学公式$ ）^{α1+α2+…+αn}≤（ $数学公式$ ）^α1•（ $数学公式$ ）^α2…（ $数学公式$ ）^αn．

（1）解：f′（x）=α（1+x）^α-1（1+ $\text{[math]}$ ）^β+（1+x）^α•β（1+ $\text{[math]}$ ）^β-1•（-1）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵x∈（ $\text{[math]}$ ，∞）时f′（x）＞0，x∈（0， $\text{[math]}$ ）时，f′（x）＜0．
∴f（x）_max=f（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）^α（ $\text{[math]}$ ）^β．
（2）证：∵f（ $\text{[math]}$ ）≤f（ $\text{[math]}$ ），∴（ $\text{[math]}$ ）^α•（ $\text{[math]}$ ）^β≤（ $\text{[math]}$ ）^α•（ $\text{[math]}$ ）^β，
即（ $\text{[math]}$ ）^α+β≤（ $\text{[math]}$ ）^α•（ $\text{[math]}$ ）^β．
（3）当n=2时，由（2）可知（ $\text{[math]}$ ）^α1+α2≤（ $\text{[math]}$ ）^α1•（ $\text{[math]}$ ）^α2，
设n=k时，（ $\text{[math]}$ ）^{α1+α2+…+αn}≤（ $\text{[math]}$ ）^α1•（ $\text{[math]}$ ）^α2…（ $\text{[math]}$ ）^αn，
当n=k+1时，（ $\text{[math]}$ ）^{α1+α2+…+αn+αn+1}
=[ $\text{[math]}$ ]^{（α1+α2+…+αn）+αn+1}
≤（ $\text{[math]}$ ）^{α1+α2+…+αn}•（ $\text{[math]}$ ）^αn+1
≤（ $\text{[math]}$ ）^α1•（ $\text{[math]}$ ）^α2…（ $\text{[math]}$ ）^αn•（ $\text{[math]}$ ）^αn+1．
所以，结论对一切n成立．
分析：（1）先求导函数得f′（x）= $\text{[math]}$ ，从而可知x∈（ $\text{[math]}$ ，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0， $\text{[math]}$ ）时，f′（x）＜0．故可求f（x）的最小值；
（2）根据f（ $\text{[math]}$ ）≤f（ $\text{[math]}$ ），可得（ $\text{[math]}$ ）^α•（ $\text{[math]}$ ）^β≤（ $\text{[math]}$ ）^α•（ $\text{[math]}$ ）^β，从而得证；
（3）利用数学归纳法证明，当n=2时，由（2）可知（ $\text{[math]}$ ）^α1+α2≤（ $\text{[math]}$ ）^α1•（ $\text{[math]}$ ）^α2，假设n=k时，成立，即（ $\text{[math]}$ ）^{α1+α2+…+αn}≤（ $\text{[math]}$ ）^α1•（ $\text{[math]}$ ）^α2…（ $\text{[math]}$ ）^αn，再证明当n=k+1时也，成立．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数与不等式的综合，考查数学归纳法，有一定的综合性．