Question

（2013•嘉兴二模）在△ABC中，sinA+cosA=

2

2

，AC=4，AB=5，则△ABC的面积是

5 2 +5 6

2

．

Answer 1

分析：已知第一个等式左边变形后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出sinA的值，再由AC与AB的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：∵sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）=

2

2

，
∴sin（A+

π

4

）=

1

2

，
∴A+

π

4

=

π

6

（舍去），或A+

π

4

=

5π

6

，即A=

7π

12

，
∴sinA=sin

7π

12

=sin（

π

2

+

π

12

）=cos

π

12

=

6 + 2

4

，
则△ABC的面积为

1

2

AC•ABsinA=

5 2 +5 6

2

．
故答案为：

5 2 +5 6

2

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．