Question

已知函数f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函数（a＞0且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由奇函数可得：f（-x）+f（x）=0，求出m的值之后，再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；
（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明．

解答：解：（1）∵已知函数f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函数（a＞0且a≠1），
∴f（-x）+f（x）=0，
∴loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0，即loga(

1+mx

-x-1

×

1-mx

x-1

)=0，
∴

1+mx

-x-1

×

1-mx

x-1

=1，即1-m²x²=1-x²，∴m²=1，解得m=±1．
又∵

1-mx

x-1

＞0，∴m=1应舍去．
当m=-1时，f（x）=loga

1+x

x-1

，其定义域为{x|x＜-1，或x＞1}关于原点对称，故适合．
∴m=-1．
（2）当a＞1时，f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，下面给出证明．
设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=loga

1+x1

x1-1

-loga

1+x2

x2-1

=loga

(1+x1)(x2-1)

(x1-1)(1+x2)

而（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0，及（x₁-1）（1+x₂）＞0，
∴

(1+x1)(x2-1)

(x1-1)(1+x2)

＞1，又a＞1，
∴loga

(1+x1)(x2-1)

(x1-1)(1+x2)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）．
当0＜a＜1时，同理可证f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．

点评：掌握函数的奇偶性和单调性是正确解题的关键．