题目内容
已知等差数列{an}中，a3=9，a5=17，记数列{
}的前n项和为Sn，若S2n+1-Sn≤
，(m∈Z)，对任意的n∈N*成立，则整数m的最小值为（ ）
| 1 |
| an |
| m |
| 10 |
分析：设公差为d，由a3=9，a5=17，得a1，d的方程组，可解出a1，d，从而得到an，S2n+1-Sn≤
，(m∈Z)，对任意的n∈N*成立，等价于（S2n+1-Sn）max≤
，令bn=S2n+1-Sn，通过作差可判断{bn}的单调性，根据单调性即可得到bn的最大值．
| m |
| 10 |
| m |
| 10 |
解答：解：设公差为d，
由a3=9，a5=17，得
，解得a1=1，d=4，
∴an=4n-3，
故Sn=1+
+
+…+
，
令bn=S2n+1-Sn=
+…+
，
则bn+1-bn=[
+…+
]-[
+…+
]=
+
-
＜0，
∴{bn}是递减数列，
∴b1最大，为
+
=
，
∴根据题意，S2n+1-Sn≤
，∴
≤
，m≥
，
∴m的最小值为4．
故选B．
由a3=9，a5=17，得
|
∴an=4n-3，
故Sn=1+
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 4n-3 |
令bn=S2n+1-Sn=
| 1 |
| 4n+1 |
| 1 |
| 8n+1 |
则bn+1-bn=[
| 1 |
| 4(n+1)+1 |
| 1 |
| 8(n+1)+1 |
| 1 |
| 4n+1 |
| 1 |
| 8n+1 |
| 1 |
| 8n+5 |
| 1 |
| 8n+9 |
| 1 |
| 4n+1 |
∴{bn}是递减数列，
∴b1最大，为
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 9 |
| 14 |
| 45 |
∴根据题意，S2n+1-Sn≤
| 14 |
| 45 |
| 14 |
| 45 |
| m |
| 10 |
| 28 |
| 9 |
∴m的最小值为4．
故选B．
点评：本题考查等差数列的通项公式、数列与不等式的综合，考查恒成立问题，恒成立问题常转化为最值解决，数列的项的最值常利用作差解决．
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已知等差数列{an}中，a4a6=-4，a2+a8=0，n∈N*．