Question

判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=x⁴+2x²
（2）f（x）=x³+

1

x

（3）f（x）=

x2-1

+

1-x2

（4）f（x）=

x3-3x2+1，x＞0 x3+3x2-1，x＜0

．

Answer 1

分析：先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系，再根据函数的奇偶性的定义作出判断．

解答：解：（1）对于函数f（x）=x⁴+2x² ，由于f（-x）=（-x）⁴+2（-x）²=x⁴+2x² =f（x），故函数为偶函数．
（2）对于函数f（x）=x³+

1

x

，由于f（-x）=（-x）³+

1

-x

=-（x³+

1

x

 ）=-f（x），故函数为奇函数．
（3）对于函数f（x）=

x2-1

⁺

1-x2

，由于f（-x）=

(-x)2-1

+

1-(-x)2

=f（x），故函数为偶函数．
（4）对于函数f（x）=

x3-3x2+1，x＞0 x3+3x2-1，x＜0

，当x＞0时，-x＜0，f（-x）=（-x）³+3（-x）²-1=-x³+3x²-1=-（x³-3x²+1）=-f（x）．
同理可得，当x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x）³-3（-x）²+1=-x³-3x²+1=-（x³+3x²-1）=-f（x），
故函数f（x）为偶函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系，再根据函数的奇偶性的定义作出判断，属于中档题．