Question

对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：
①若f（x）是奇函数，则函数f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若f（x）是偶函数，则函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称；
③若2是f（x）的一个周期，则对任意的x∈R，都有f（x-1）=-f（x）；
④函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于y轴对称．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：由函数的奇偶性与平移的知识可以判定①、②是否正确；
③由2是f（x）的一个周期，不能得出f（x-1）=-f（x）的结论；
④通过取特殊函数来进行对错的判断．

解答：解：①中，f（x-1）的图象由f（x）的图象向右平移一个单位得到；
又f（x）是奇函数，它的对称中心是（0，0），可得f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；∴命题正确；
同理②中，f（x）是偶函数，f（x-1）的图象关于直线x=1对称；命题正确；
③中，2是f（x）=tan（

π

2

x）的一个周期，对任意x∈R，f（x-1）=tan（

π

2

x-

π

2

）=-tan（

π

2

-

π

2

x）=-

1

tan( π 2 x)

≠-f（x），∴命题不正确；
④当f（x）=x²时，y=f（x-1）=（x-1）²与y=f（1-x）=（1-x）²的图象不关于y轴对称，∴命题不成立．
故答案为：①②．

点评：本题考查了函数的奇偶性与周期性以及对称性问题，是综合性题目，通常取特例解决这类问题．