Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB；
(Ⅱ)求证：AC⊥平面EDB；
(Ⅲ)求四面体B-DEF的体积．

Answer 1

(Ⅰ)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，
连结EC，CH，由于H为BC的中点，故，
又，
∴，
∴四边形EFHC为平行四边形，
∴EG∥FH，
而EG平面EDB，
∴FH∥平面EDB。
(Ⅱ)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，
又EF∥AB，
∴EF⊥BC，而EF⊥FB，
∴EF⊥平面BFC，
∴EF⊥FH，
∴AB⊥FH，
又BF=FC，H为BC的中点，
∴FH⊥BC，
∴FH⊥平面ABCD，
∴FH⊥AC，
又FH∥EG，
∴AC⊥EG，
又AC⊥BD，EG∩BD=G，
∴AC⊥平面EDB。
(Ⅲ)解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°，
∴BF⊥平面CDEF，
所以BF为四面体B-DEF的高，
又BC=AB=2，
∴，
。