Question

数列{a_n}中，a1=

5

2

，an+1=

a 2 n

2(an-1)

（n∈N⁺），用数学归纳法证明：an＞2(n∈N+)．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，易求a₁=

5

2

＞2，不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即a_k＞2（k∈N^*），去推证当n=k+1时，a_k+1＞2即可．

解答：证明：（1）当n=1时，a₁=

5

2

＞2，不等式成立．
（2）假设当n=k时不等式成立，即a_k＞2（k∈N^*），
则当n=k+1时，
a_k+1-2=

a 2 k

2(ak-1)

-2=

(ak-2)2

2(ak-1)

＞0，
∴a_k+1＞2．
∴当n=k+1时，不等式也成立
综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立．

点评：本题考查数列递推式，着重考查数学归纳法的应用，考查推理、论证能力，属于中档题．