Question

（2011•河北区一模）已知圆C1：x2+y2+2x+ay-3=0和圆C2：x2+y2-4x-2y-9=0的公共弦长为2

6

，则实数a的值为

4或-

20

7

．

Answer 1

分析：圆C₁是以（-1，-

a

2

）为圆心，以

16+a2

2

为半径的圆，圆C₂是以（2，1）为圆心，以

14

为半径的圆，利用弦长之半，弦心距及圆的半径组成的直角三角形及两圆心之间的距离即可求得a的值．

解答：解：依题意，圆C₁是以（-1，-

a

2

）为圆心，以

16+a2

2

为半径的圆，圆C₂是以（2，1）为圆心，以

14

为半径的圆，
∵圆C₁与圆C₂的公共弦长为2

6

，两圆心之间的距离|C₁C₂|=

[2-(-1)]2+[1-(- a 2 )]2

=

a2 4 +a+10

，
∵在圆C₁中，由弦长之半

6

，弦心距d₁及圆的半径

16+a2

2

组成的直角三角形，
∴d₁=

16+a2 4 -6

=

a2-8 4

；
同理可求，圆C₂中的弦心距d₂=2

2

．
∵d₁+d₂=|C₁C₂|，
∴

a2 4 +a+10

=

a2-8 4

+2

2

，
两边平方，得：

a2

4

+a+10=

a2

4

-2+8+4

2

•

a2-8 4

，
整理得：7a²-8a-80=0，即（a-4）（7a+20）=0，
∴a=4或a=-

20

7

．
故答案为：a=4或a=-

20

7

．

点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查方程思想与推理运算能力，弦长之半，弦心距及圆的半径组成的直角三角形的应用是解决问题之关键，属于中档题．