Question

如图，AB∥MN，且2OA=OM，若

OP

=x

OA

+y

OB

，（其中x，y∈R），则终点P落在阴影部分（含边界）时，

y+x+2

x+1

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：当点P是线段AB的中点时，过点P分别作PE∥OB，PF∥OA，交点分别是点E，F，利用平行四边形法则可得：

OP

=

OE

+

OF

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，可得x+y=

1

2

+

1

2

=1．当点P位于线段AB上其它位置时，也有此结论．
当点P是线段MN的中点时，连接PA，PB．由于AB∥MN，且2OA=OM，可得B点是线段ON的中点．由平行四边形法则可得：

OP

=

OA

+

OB

，此时x+y=2，当点P位于线段AB上其它位置时，也有此结论．综上可知：1≤x+y≤2．
又

y+x+2

x+1

=

y+1

x+1

+1，令

y+1

x+1

=t，化为y+1=t（x+1），可知此直线过定点P（-1，-1）．由约束条件

0≤x≤2 0≤y≤2 1≤x+y≤2

，作出可行域．作直线l：y=x，把此直线上下平移，当l经过点A（2，0）时，t取得最小值k_PA；当点l经过点B（0，2）时，t取得最大值k_PB．进而得出．

解答：解：如图所示．
①当点P是线段AB的中点时，过点P分别作PE∥OB，PF∥OA，交点分别是点E，F，则点E，F分别是OA，OB的中点．
由平行四边形法则可得：

OP

=

OE

+

OF

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，
又

OP

=x

OA

+y

OB

，（其中x，y∈R），∴x+y=

1

2

+

1

2

=1．
当点P位于线段AB上其它位置时，也有此结论．
②当点P是线段MN的中点时，连接PA，PB．
∵AB∥MN，且2OA=OM，∴B点是线段ON的中点．
由平行四边形法则可得：

OP

=

OA

+

OB

，此时x+y=2，当点P位于线段AB上其它位置时，也有此结论．
综上可知：1≤x+y≤2．
又

y+x+2

x+1

=

y+1

x+1

+1，令

y+1

x+1

=t，化为y+1=t（x+1），可知此直线过定点P（-1，-1）．
由约束条件

0≤x≤2 0≤y≤2 1≤x+y≤2

，作出可行域：
作直线l：y=x，把此直线上下平移，当l经过点A（2，0）时，t取得最小值k_PA=

-1-0

-1-2

=

1

3

，当点l经过点B（0，2）时，t取得最大值k_PB=

-1-2

-1-0

=3．
∴

1

3

≤t≤3．
∴

4

3

≤t+1≤4，即

y+x+2

x+1

的取值范围是[

4

3

，4]．
故答案为：[

4

3

，4]．

点评：本题考查了平面向量基本定理、平行四边形法则、线性规划及其最值等基础知识与基本技能方法，属于难题．