Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数程为（为参数），设直线与的交点为,当变化时点的轨迹为曲线.

（1）求出曲线的普通方程；

（2）以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程为;(2) 的最小值为.

【解析】【试题分析】（1）利用加减消元法，消去参数，可将转化为普通方程.将两方程联立，消去可得的普通方程.（2）先将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，写出的参数方程，利用点到直线的距离公式和三角函数辅助角公式，可求得距离的最小值.

【试题解析】

（1）将， 的参数方程转化为普通方程

，①

，②

①×②消可得： ，

因为，所以，所以的普通方程为.

（2）直线的直角坐标方程为： .

由（1)知曲线与直线无公共点，

由于的参数方程为（为参数， ， ），

所以曲线上的点到直线的距离为

，

所以当时， 的最小值为.