题目内容

在正三棱锥A-BCD中，E是BC的中点，AD⊥AE．若BC=2，则正三棱锥A-BCD的体积为________．

$\text{[math]}$
分析：由已知中在正三棱锥A-BCD中，E是BC的中点，AD⊥AE．若BC=2，我们根据正三棱锥的几何特征，易求出棱锥侧棱的长，进而求出棱锥的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
解答：∵棱锥A-BCD为正三棱锥
∴AD⊥BC，
又由AD⊥AE，AE∩BC=E
∴AD⊥平面ABC，
设正三棱锥A-BCD的侧棱长为X，则
在Rt△ACE中，AE= $\text{[math]}$
在Rt△DAE中，DE= $\text{[math]}$ ，DA=X，DE²=DA²+AE²，
解得X= $\text{[math]}$
∴正三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD=V_D-ABC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据正三棱锥的几何特征，得到AD⊥平面ABC，进而利用勾股定理求出棱锥侧锥的长，是解答本题的关键．