题目内容

设函数f（x）=Asin（2x+
π
3
）（x∈R）的图象过点P（
7π
12
，-2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（
a
2
+
π
12
）=
10
13
，-
π
2
＜a＜0，求cos（a-
3π
4
）的值．
分析：（Ⅰ）根据f（x）的图象过点P（
7π
12
，-2），可得f（
7π
12
）=Asin（2×
7π
12
+
π
3
）=Asin
3π
2
=-2，从而可求f（x）的解析式为；
（Ⅱ）根据f（
a
2
+
π
12
）=2cosα=
10
13
，可得cosα=
5
13
，结合-
π
2
＜a＜0，可得sinα=-
12
13
，再利用差角的余弦公式，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的图象过点P（
7π
12
，-2），
∴f（
7π
12
）=Asin（2×
7π
12
+
π
3
）=Asin
3π
2
=-2
∴A=2     （3分）
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+
π
3
）    （5分）
（Ⅱ）∵f（
a
2
+
π
12
）=2cosα=
10
13
，∴cosα=
5
13
，（7分）
∵-
π
2
＜a＜0，∴sinα=-
12
13
 （9分）
∴cos（a-
3π
4
）=cosαcos
3π
4
+sinαsin
3π
4
=-
17
2
26
（12分）
点评：本题考查求解三角函数的解析式，考查同角三角函数的关系，考查差角的余弦公式的运用，属于中档题．
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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
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（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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