题目内容

定义在[0，1]上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
x
5
）=
1
2
f（x），且当0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），则f（
1
2010
）等于（　　）
A．
1
2
B．
1
16
C．
1
32
D．
1
64
∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（
x
5
）=
1
2
f（x），
∴当x=1时，f（
1
5
）=
1
2
f（1）=
1
2
；
令x=
1
5
，由f（
x
5
）=
1
2
f（x）得：
f（
1
25
）=
1
2
f（
1
5
）=
1
4
；
同理可求：f（
1
125
）=
1
2
f（
1
25
）=
1
8
；
f（
1
625
）=）=
1
2
f（
1
125
）=
1
16
；
f（
1
3125
）=
1
2
f（
1
625
）=
1
32
 ①
再令x=
1
2
，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（
1
2
）=
1
2
，
∴f（
1
2
）+f（1-
1
2
）=1，解得f（
1
2
）=
1
2
，
令x=
1
2
，同理反复利用f（
x
5
）=
1
2
f（x），
可得f（
1
10
）=）=
1
2
f（
1
2
）=
1
4
；
f（
1
50
）=
1
2
f（
1
10
）=
1
8
；
…
f（
1
1250
）=
1
2
f（
1
250
）=
1
32
 ②
由①②可得：，有f（
1
1250
）=f（
1
3125
）=
1
32
，
∵0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），而0＜
1
3125
＜
1
2010
＜
1
1250
＜1
所以有f（
1
2010
）≥f（
1
3125
）=
1
32
，
       f（
1
2010
）≤f（
1
1250
）=
1
32
；
故f（
1
2010
）=
1
32
．
故选C．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当x∈[0，
1
3
]时，f(x)≥
3
2
x恒成立．则f(
3
7
)+f(
5
9
)=
 
．
（2009•上海模拟）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2成立．
已知函数g（x）=x2与h（x）=a&•2x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g（2x-1）+h（x）=m（m∈R）解的个数情况．
（2008•南京模拟）函数f （x）是定义在[0，1]上的函数，满足f （x）=2f （
x
2
），且f （1）=1，在每一个区间（
1
2k
，
1
2k-1
]（k=1，2，3，…）上，y=f （x）的图象都是斜率为同一常数m的直线的一部分，记直线x=
5
3×2n
，x=
1
2n-1
，x轴及函数y=f （x）的图象围成的梯形面积为an（n=1，2，3，…），则数列{an}的通项公式为
12-m
9×22n+1
12-m
9×22n+1
．（用最简形式表示）
对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
已知函数g（x）=x2与h（x）=a•2x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数m，使方程g（2x-1）+h（x）=m恰有两解？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
若定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则称函数f（x）为“梦函数”．
（1）试验证f（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“梦函数”；
（2）若函数f（x）为“梦函数”，求f（x）的最值．

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