Question

已知函数f(x)=

1

2

sin2xsinφ+cos2xcosφ-

1

2

sin(

π

2

+φ)(0＜φ＜π)，其图象过点（

π

6

，

1

2

）．
（1）求φ的值及y=f（x）最小正周期；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数PF₂在[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，f（x）=

1

2

cos(2x-∅)，又函数的图象经过（

π

6

，

1

2

），可得 cos（

π

3

-∅）=1，据 
0＜∅＜π，得∅=

π

3

，故最小正周期等于

2π

2

=π．
（2）由（Ⅰ）知f（x）=

1

2

cos(2x-

π

3

)，根据图象的变换可得 g(x)=f(2x)=

1

2

cos(4x-

π

3

)，因为x∈[0，

π

4

]，4x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，故-

1

2

≤cos(4x-

π

3

)≤1，从而得到函数在[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1

2

sin2xsinφ+cos2xcosφ-

1

2

sin(

π

2

+φ)(0＜φ＜π)，
∴f（x）=

1

2

sin2xsin∅+

1+cos2x

2

•cos∅-

1

2

cos∅=

1

2

sin2xsin∅+

1

2

cos2xcos∅
=

1

2

cos(2x-∅)，又函数的图象经过（

π

6

，

1

2

），∴

1

2

=

1

2

 cos（

π

3

-∅），∴cos（

π

3

-∅）=1．
∵0＜∅＜π，∴∅=

π

3

，故最小正周期等于

2π

2

=π．
 （2）由（Ⅰ）知f（x）=

1

2

cos(2x-

π

3

)，将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，
纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，可知g(x)=f(2x)=

1

2

cos(4x-

π

3

)，
因为x∈[0，

π

4

]，4x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，故-

1

2

≤cos(4x-

π

3

)≤1．
所以y=g（x）在[0，

π

4

]上的最大值和最小值分别为

1

2

和-

1

4

．

点评：本题考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象变换，得到可知g(x)=f(2x)=

1

2

cos(4x-

π

3

)，是解题的难点．