Question

已知函数f(x)=loga

2+x

x-2

(a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）根据使函数解析式有意义的原则，结合对数函数中真数部分大于0，构造关于x的不等式，解分式不等式可得函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）令u(x)=

2+x

x-2

=

x+2

x-2

，根据对数函数的单调性，及复合函数单调性同增异减的原则，可求出函数f（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）由

2+x

x-2

＞0得（x+2）（x-2）＞0，
解得x＜-2或x＞2，
所以函数y=f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）．        …（2分）
（Ⅱ）令u(x)=

2+x

x-2

=

x+2

x-2

．
设2＜x₁＜x₂+∞，则u(x1)=

x1+2

x1-2

，u(x2)=

x2+2

x2-2

．      …（3分）
所以u(x1)-u(x2)=

x1+2

x1-2

-

x2+2

x2-2

=

(x1+2)(x2-2)-(x2+2)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

4(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

…（4分）
因为2＜x₁＜x₂+∞，于是x₁-2＞0，x₂-2＞0，x₁-x₂＞0，
所以

4(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

＞0，即u（x₁）＞u（x₂）．
又因为0＜a＜1，所以log_au（x₁）＜log_au（x₂）．
所以函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．                    …（6分）
同理可知，函数f（x）在（-∞，-2）上单调递增．             …（7分）
综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（2，+∞）．   …（8分）

点评：本题考查的知识点是函数的定义域，对数函数的单调性，复合函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．