Question

【题目】二次函数的图象顶点为，且图象在轴上截得的线段长为8.

（1）求函数的解析式；

（2）令.

（ⅰ）求函数在上的最小值；

（ⅱ）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(i)分类讨论，详见解析；（ii）.

【解析】

（1）先设二次函数为顶点式，然后根据其顶点为,可知函数的解析式为，由图象在轴上截得的线段长为8，利用韦达定理即可解.

（2）（i）先求出函数的解析式，再根据，分类讨论函数的对称轴，当时，函数最小值的情况.

（ii）不等式恒成立转化为函数在区间上最大值小于等于17，再利用分类讨论思想讨论a的范围即可解.

解：（1）由题意设，与轴的交点坐标为，

∴，∵，

由韦达定理可得.

∴，

∴，∴

（2），

对称轴为，

（ⅰ）当时，函数在区间为单调减函数，

∴；

当时，函数在区间上为单调增函数，在区间上为单调减函数，

.

当时，函数在区间上为单调增函数，

在区间上为单调减函数，∴.

当时，．

∴函数在上的最小值为.

（ⅱ）①当时，恒成立，只需，即，显然成立，∴.

②当时，恒成立，只需，即，

即，∴.

③当时，恒成立，只需，即，

即，这与矛盾，故舍去．

综上所述，的取值范围是