Question

已知动圆C与圆（x+1）²+y²=1及圆（x-1）²+y²=25都内切，则动圆圆心C的轨迹方程为

 

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Answer 1

分析：设圆（x+1）²+y²=1的圆心O₁（-1，0），半径r₁=1；圆（x-1）²+y²=25的圆心O₂（1，0），半径r₂=5．设动圆C的圆心C（x，y），半径R．由于动圆C与圆（x+1）²+y²=1及圆（x-1）²+y²=25都内切，可得|O₁C|=R-1，|O₂C|=5-R．于是|O₁C|+|O₂C|=5-1=4＞|O₁O₂|=2，利用椭圆的定义可知：动点C的轨迹是椭圆．求出即可．

解答：解：设圆（x+1）²+y²=1的圆心O₁（-1，0），半径r₁=1；圆（x-1）²+y²=25的圆心O₂（1，0），半径r₂=5．
设动圆C的圆心C（x，y），半径R．
∵动圆C与圆（x+1）²+y²=1及圆（x-1）²+y²=25都内切，
∴|O₁C|=R-1，|O₂C|=5-R．
∴|O₁C|+|O₂C|=5-1=4＞|O₁O₂|=2，
因此动点C的轨迹是椭圆，设其标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1．
则2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3．
因此动圆圆心C的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
故答案为：

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查了两圆相内切的性质、椭圆的定义，属于中档题．