Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d，g（x）=ax²+2bx+3c（a≠0），若y=g（x）的图象如图所示，则下列图象可能为y=f（x）的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：由g（x）=ax²+2bx+3c（a≠0）的图象可得 a＜0，b＞0，c＜0，且 b²=3ac．再由f′（x）=3ax²+2bx+c，由于它的判别式△′=4b²-12ac=0，故 f′（x）≤0恒成立，故f（x）在R上是减函数，由此得到结论．

解答：解：由g（x）=ax²+2bx+3c（a≠0）的图象可得，a＜0，-

b

a

＞0，3c＜0，△=4b²-12ac=0．
化简可得 a＜0，b＞0，c＜0，且 b²=3ac．
由f（x）=ax³+bx²+cx+d可得 f′（x）=3ax²+2bx+c，由于它的判别式△′=4b²-12ac=0，
故由二次函数的性质可得 f′（x）≤0恒成立，故f（x）在R上是减函数，结合图象，只有C满足条件，
故选C．

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．