题目内容
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足
，并记Tn为{bn}的前n项和，
求证：3Tn+1＞log2（an+3），n∈N*．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足
，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1＞log2（an+3），n∈N*．
解：（1）由
，解得a1=1或a1=2，
由假设a1=S1＞1，因此a1=2，
又由
，
得（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0，
即an+1﹣an﹣3=0或an+1=﹣an，
因an＞0，故an+1=﹣an不成立，舍去
因此an+1﹣an=3，
从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{an}的通项为an=3n﹣1
（2）证明：由
可解得
；
从而
因此
令
，
则
、
因（3n+3）3﹣（3n+5）（3n+2）2=9n+7＞0，
故f（n+1）＞f（n）
特别地
，
从而3Tn+1﹣log2（an+3）=log2f（n）＞0、
即3Tn+1＞log2（an+3）
，解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1＞1，因此a1=2，
又由
，得（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0，
即an+1﹣an﹣3=0或an+1=﹣an，
因an＞0，故an+1=﹣an不成立，舍去
因此an+1﹣an=3，
从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{an}的通项为an=3n﹣1
（2）证明：由
可解得；从而
因此
令
，则
、因（3n+3）3﹣（3n+5）（3n+2）2=9n+7＞0，
故f（n+1）＞f（n）
特别地
，从而3Tn+1﹣log2（an+3）=log2f（n）＞0、
即3Tn+1＞log2（an+3）
练习册系列答案
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与
的大小，并加以证明．
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