Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b-2a）cosC+ccosB=0．
（1）求C；
（2）若c=

7

，b=3a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的表达式，结合两角和的正弦函数以及三角形的内角，求出C的值即可；
（2）通过余弦定理，以及b=3a，求出a与b的值，然后直接利用三角形的面积公式求出三角形的面积．

解答：解：（1）∵（b-2a）cosC+c cosB=0，
∴由正弦定理得（sinB-2sinA）cosC+sinCcosB=0，
sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，即sin（B+C）=2sinAcosC，
∴sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，∴cosC=

1

2

，
又∵C∈（0，π），∴C=

π

3

；
（2）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，
∴

a2+b2-ab=7 b=3a

解得：a=1，b=3，
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×1×3×

3

2

=

3 3

4

．

点评：本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦函数，三角形的面积公式的应用，考查计算能力．