Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e=，一个焦点的坐标为（，0）．
（I）求椭圆C方程；
（II）设直线l：y=与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T．当m变化时，求△TAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出椭圆的标准方程，根据题意可求得c，进而根据离心率求得a，进而根据b²=a²-c²求得b，则椭圆的方程可得．
（II）把直线方程与椭圆方程联立，消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x，y），根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而求得|AB|的表达式，表示x和y，进而可知M的坐标，设T（t，0），根据MT⊥AB，可推断出k_MT•k_AB=-1进而求得|MT|的表达式，根据三角形面积公式求得面积的表达式，根据m的范围确定三角形面积的最大值．
解答：解：（I）依题意，设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）
∵c=，e==∴a=2，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程是
（II）由
，∴．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x，y）
则x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2
|AB|==
x==-m，y=+m=m
∴M（-m，m）
设T（t，0），
∵MT⊥AB，
∴k_MT•k_AB==-1
∴．
∴=．
∵，
∴当m²=1，即m=±1时，S_△TAB取得最大值为．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．