Question

已知函数f（x）=

1+x2

1-x2

，
（1）求它的定义域；
（2）判断它的奇偶性；
（3）求证：f（-

1

x

）=-f（x）．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）分母≠0，得定义域；
（2）由奇偶性定义判定f（x）的奇偶性；
（3）计算f（-

1

x

）、-f（x）即可证明．

解答：解：（1）在函数f（x）=

1+x2

1-x2

中，1-x²≠0，∴x≠±1，∴函数f（x）的定义域{x|x≠1}；
（2）在函数f（x）=

1+x2

1-x2

中，定义域关于原点对称，在其中任取x，则f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），∴函数f（x）是偶函数；
（3）证明：∵函数f（x）=

1+x2

1-x2

，∴f（-

1

x

）=

1+(- 1 x )2

1-(- 1 x )2

=

x2+1

x2-1

=-

1+x2

1-x2

=-f（x），即证．

点评：本题考查了函数的定义域，奇偶性，解析式等基础知识，是容易题目．