Question

已知结论“若a₁，a₂∈R⁺，且a₁+a₂=1，则

1

a1

+

1

a2

≥4，请猜想：若a₁，a₂，…a_n∈R⁺，且a₁+a₂+…a_n=1，则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥

n²

．

Answer 1

分析：若a₁，a₂∈R⁺，且a₁+a₂=1，则

1

a1

+

1

a2

≥4，由类比推理知识得：若a₁，a₂，a₃∈R⁺，且a₁+a₂+a₃=1，则

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥9，从而有：若a₁，a₂，…a_n∈R⁺，且a₁+a₂+…a_n=1，则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥项数的平方，即可得到结论．

解答：解：若a₁，a₂∈R⁺，且a₁+a₂=1，则

1

a1

+

1

a2

≥4，
由类比推理知识得：若a₁，a₂，a₃∈R⁺，且a₁+a₂+a₃=1，则

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥9，
从而有：若a₁，a₂，…a_n∈R⁺，且a₁+a₂+…a_n=1，则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥项数的平方，即可得到结论．
故答案为：n²．

点评：本题考查类比推理、二次函数恒成立知识，考查利用所学知识解决问题的能力．