Question

已知函数f（x）=log2(cx+1)+kx(k∈R)是偶函数，且当k=0时，函数y=f（x）的图象与函数y=b^x-1-1+log₂5（b∈（0，1）∪（1，+∞））的图象都恒过同一个定点．
（1）求k和c的值；
（2）设g（x）=log2(a•2x-

4

3

a)(a∈R)，若方程f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用b⁰=1可得y=b^x-1-1+log₂5的图象恒过定点（1，log₂5），且当k=0时，函数y=f（x）的图象与函数y=b^x-1-1+log₂5的图象都恒过同一个定点．因此函数f（x）=log2(cx+1)的图象也过定点（1，log₂5），
可得log₂5=log₂（c+1），即可解得c．再利用偶函数的性质f（-x）=f（x）即可解得k．
（2）方程f（x）=g（x）有且只有一个实数解，等价于方程4x+1=(a•2x-

4

3

a)•2x有唯一实数解，且a•2x-

4

3

a＞0．令2^x=t，则此问题等价于方程(a-1)•t2-

4

3

at-1=0只有一个正实根且a•2x-

4

3

a＞0．通过分类讨论和一元二次方程的解的情况与判别式△的关系即可得出．

解答：解：（1）∵y=b^x-1-1+log₂5的图象恒过定点（1，log₂5），且当k=0时，函数y=f（x）的图象与函数y=b^x-1-1+log₂5的图象都恒过同一个定点．
∴函数f（x）=log2(cx+1)的图象也过定点（1，log₂5），
∴log₂5=log₂（c+1）
解得c=4．
∴f（x）=log2(4x+1)+kx．
又∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）．
∴log2(4-x+1)-kx=log2(4x+1)+kx，
化为2x+2kx=0，
由于此式对于一切x∈R恒成立，∴k=-1．
（2）∵方程f（x）=g（x）有且只有一个实数解，
等价于方程4x+1=(a•2x-

4

3

a)•2x有唯一实数解，且a•2x-

4

3

a＞0，
令2^x=t，则此问题等价于方程(a-1)•t2-

4

3

at-1=0只有一个正实根且a•2x-

4

3

a＞0．
从而有：
①当a-1=0即a=1，则t=-

3

4

，不合题意舍去．
②a-1≠0即a≠1．
1°若△=

16

9

a2+4(a-1)=0，即a=

3

4

或a=-3．
当a=

3

4

时，代入方程得t=-2不合题意，
当a=-3时，得t=

1

2

符合题意．
2°方程有一个正根和一个负根，即

-1

a-1

＜0，即a＞1符合题意，
综上所述，实数a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、过定点问题、对数函数与指数函数的定义域与性质、一元二次方程的解法等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了计算能力和推理能力，属于难题．