Question

（本小题满分14分）已知，函数．

（Ⅰ）当时，

（ⅰ）若，求函数的单调区间；

（ⅱ）若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围；

（Ⅱ）已知曲线在其图象上的两点，（）处的切线分别为．若直线与平行，试探究点与点的关系，并证明你的结论．

 

Answer 1

【答案】

（1）单调递增区间为，的取值范围是；（2）见解析.

【解析】第一问中因为，所以，得到解析式，然后分析函数的单调区间，运用导数的正负来判定即可

第二问中，关于的不等式在区间上有解，等价转化为

不等式在区间上有解，然后利用分离参数m的思想得到取值范围

第三问中，因为的对称中心为，

而可以由经平移得到，

所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称．然后加以证明即可。

解：（Ⅰ）（i）因为，所以，        ……………………1分

则， 而恒成立，

所以函数的单调递增区间为．      ……………………4分

（ii）不等式在区间上有解，

即 不等式在区间上有解，

即   不等式在区间上有解，

等价于不小于在区间上的最小值．         ……………………6分

因为时，，

所以的取值范围是．                  ……………………9分

（Ⅱ）因为的对称中心为，

而可以由经平移得到，

所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称．    ……………………10分

对猜想证明如下：

因为，

所以，

所以，的斜率分别为，．

又直线与平行，所以，即，

因为，

所以，，   ……………………12分

从而，

所以．

又由上 ，

所以点，（）关于点对称．

故当直线与平行时，点与点关于点对称．        ……………………14分