Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=x²-ax（a∈R）
（I）求函数f（x）在[-1，1]的解析式；
（II）求函数f（x）在[0，1]的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性求出函数在[0，1]上的解析式，从而得到函数f（x）在[-1，1]的解析式；
（2）结合二次函数的图象分a≤-2，-2＜a＜0，a≥0讨论，求得函数f（x）在[0，1]的最大值．

解答：解：（I）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，由已知条件可知f（-x）=（-x）²-a（-x）=x²+ax
∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=-f（-x）=-x²-ax
∴函数f（x）在[-1，1]上的解析式为f(x)=

x2-ax，  x∈[-，0] -x2-ax， x∈[0，1]

（II）由（I）知x∈[0，1]时，f（x）=-x²-ax=-(x+

a

2

)2+

a2

4

结合函数的图象可知
当-

a

2

≤0，即a≥0时，f（x）_max=f（0）=0
当0＜-

a

2

＜1，即-2＜a＜0时，f(x)max=f(-

a

2

)=

a2

4

当-

a

2

≥1，即a≤-2时，f（x）_max=f（1）=-1-a
综上得函数f（x）在[0，1]的最大值为f(x)max=

0，         a≥0 a2 4 ，    -2＜a＜0 -1-a，  a≤-2

点评：本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式及根据函数的解析式求闭区间上的最大值，培养了利用数形结合及分类讨论解题的能力．