Question

（2010•青浦区二模）已知F₁，F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左右焦点，O是坐标原点，过F₂作垂直于x轴的直线MF₂交椭圆于M，设|MF₂|=d．
（1）证明：d，b，a 成等比数列；
（2）若M的坐标为（

2

，1），求椭圆C的方程；
（3）在（2）的椭圆中，过F₁的直线l与椭圆C交于A、B两点，若

OA

•

OB

=0，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由条件知M点的坐标为（c，y₀），其中|y₀|=d，知

c2

a2

+

d2

b2

=1，d=b•

1- c2 a2

=

b2

a

，由此能证明d，b，a成等比数列．
（2）由条件知c=

2

，d=1，知

b2=a-1 a2=b2+2

，由此能求出椭圆方程．
（3）设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），当l⊥x轴时，A（-

2

，-1）、B（-

2

，1），所以

OA

•

OB

≠0． 设直线l的方程为y=k（x+

2

），代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4

2

k2x+4k2-4=0再由韦达定理能够推导出直线l的方程．

解答：解：（1）证明：由条件知M点的坐标为（c，y₀），其中|y₀|=d，
∴

c2

a2

+

d2

b2

=1，d=b•

1- c2 a2

=

b2

a

，…（3分）
∴

d

b

=

b

a

，即d，b，a成等比数列．   …（4分）
（2）由条件知c=

2

，d=1，∴

b2=a-1 a2=b2+2

，…（6分）
∴

a=2 b= 2

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1，…（8分）
（3）设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
当l⊥x轴时，A（-

2

，-1）、B（-

2

，1），所以

OA

•

OB

≠0．  …（9分）
设直线l的方程为y=k（x+

2

），
代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4

2

k2x+4k2-4=0．…（11分）
所以

x1+x2=- 4 2 k2 1+2k2 x1x2= 4k2-4 1+2k2

…（13分）
由

OA

•

OB

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
x1x2+k2(x1+

2

)(x2+

2

)=(1+k2)x1x2+

2

k2(x1+x2)+2k2=0，
代入得

(1+k2)(4k2-4)

1+2k2

-

4 2 k2- 2 k2

1+2k2

+2k2=0，解得k=±

2

．
所以直线l的方程为y=±

2

(x+

2

)．     …（16分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．