Question

已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′所有对角线都相等,求证:平行六面体ABCD—A′B′C′D′是长方体.

Answer 1

证明:∵平行六面体的对角面是平行四边形,又平行六面体ABCD—A′B′C′D′的对角线都相等,

∴四边形BB′D′D是矩形,

从而有B′B⊥BD.

同理,四边形AA′C′C是矩形,于是A′A⊥AC,

又A′A∥B′B,故B′B⊥AC,如右图.

∵AC与BD相交,∴B′B⊥平面ABCD.

∴平行六面体ABCD—A′B′C′D′是直平行六面体.

同理,四边形A′BCD′是矩形,四边形AB′C′D是矩形.

∴BC⊥A′B,B′C′⊥AB′.

又∵B′C′∥BC,∴BC⊥AB′.又AB′和A′B相交.

∴BC⊥平面ABB′A′,BC⊥AB.

∴平行四边形ABCD为矩形.

综上所述,平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁为长方体.