Question

设f(x)是定义在R上的减函数，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(0)＝1，数列{a_n}满足a₁＝4，f(log₃)f(－1－log₃)＝1(n∈N^*)；

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)设S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与6n²－2的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由题设知f(log3·f(－1－log3＝1(n∈N*)可化为 　　，∵y＝f(x)是定义在R上的单调减函数， 　　∴即 　　∴数列是以为首项，1为公差的等差数列．∴log3即an＝　　6分 　　(Ⅱ)Sn＝a1＋a2＋a3＋···＋an＝4(1＋31＋32＋···＋3n－1)＝2(3n－1) 　　当n＝1时有Sn＝6n2－2＝4；当n＝2时有Sn＝16＜6n2－2＝22；当n＝3时有Sn＝6n2－2＝52； 　　当n＝4时有Sn＝160＞6n2－2＝94；当n＝5时有Sn＝484＞6n2－2＝148． 　　由此猜想当n≥4时，有Sn＞6n2－23n－1＞n2下面用数学归纳法证明： 　　①当n＝1时显然成立； 　　②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，有3k－1＞k2；当n＝k＋1时，有3k＝3·3k－1＞3k2， 　　∵k≥4　∴k(k－1)≥12，∴3k2－(k－1)2＝2k(k－1)－1＞0即3k2＞(k＋1)2，∴3k＞3k2＞(k＋1)2，∴3k＞(k＋1)2，因此当n＝k＋1时原式成立． 　　由①②可知当n≥4时有3n－1＞n2即Sn＞6n2－2． 　　综上可知当n＝1，3时，有Sn＝6n2－2；当n＝2时，有Sn＜6n2－2；当n≥4时，有Sn＞6n2－2　　12分