Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，DC=

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AD，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，M为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：平面ADP⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BD，在△DBP中，根据中位线定理，可得OM∥PB，再根据线面平行的判定定理进行求解；
（Ⅱ）在△ACD中，∠ADC=45°，DC=

2

AD，根据余弦定理：cos∠ADC=

2

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，从而求出AC=AD，再根据面面垂直的判定定理进行求解；

解答：证明：（Ⅰ）连接BD，由于四边形ABCD为平行四边形，
则BD交AC于AC的中点O，
在△DBP中，O为BD的中点，M为DP的中点，所以OM∥PB．（2分）
又OM?平面ACM，PB在平面ACM外，
所以PB∥平面ACM（5分）
（Ⅱ）在△ACD中，∠ADC=45°，DC=

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AD，
由余弦定理得，cos∠ADC=

|AD|2+|DC|2-|AC|2

2×|AD|×|DC|

=

2

2

，
可得AC=AD，即∠ACD=45°，所以AD⊥AC．（7分）
因为，PO⊥平面ABCD，所以，PO⊥AD，（8分）
又PO∩AC=O，所以，AD⊥平面PAC，（10分）
又AD?平面ADP，所以，平面ADP⊥平面PAC．（12分）

点评：此题主要考查空间立体几何的性质，线面平行和面面垂直的判定定理，此题是一道中档题，也是高考的热点问题；