Question

设定义在R上的函数f（x）=ax⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄，a，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，当x=-1时，f（x）取得极大值，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）已知函数f（x），且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．所以y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）是奇函数，所以f（x）=a₁x³+a₃x，由题意，得进而可得答案；
（Ⅱ）在函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上？属于探索性问题．通常假设存在，看是否有解即可．假设存在两切点为，
则f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因为（x₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以或即或
从而可得所求两点的坐标分别为或．
（Ⅲ）设，求证：．关键在理解题意上．只需要求出

和的最值即可．求最值当然要通过求导分析单调性，再看，所属范围．再求．则易证．
解答：解：（Ⅰ）将y=f（x+1）的图象向右平移1个单位，得到y=f（x）的图象，
所以y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）是奇函数，
所以f（x）=a₁x³+a₃x，由题意，得所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=x²-1，
假设存在两切点为，
则f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因为（x₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以或即或
从而可得所求两点的坐标分别为或．
（Ⅲ）因为当时，f'（x）＜0，所以f（x）在递减．
由已知得，
所以，即．
注意到x＜-1时，f′（x）＞0，-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，
由于y_m=，
所以．
因为＜-1＜，
所以，
即．
所以．
点评：这种题型属于较难的压轴题．关键在挖掘题意上做文章．