Question

在三角形中，对任意λ都有，则△ABC形状（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形

Answer 1

【答案】分析：在三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，将≥?≥?c²+λ²b²-2bcλcosA≥a²，整理成关于λ的二次不等式恒成立问题，利用△≤0结合正弦定理可得到sin²C≥1，从而可得答案．
解答：解：在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，则=c，=b，==a，
∵对任意λ都有≥，
∴对任意λ都有≥，
即c²+λ²b²-2bcλcosA≥a²对任意λ恒成立，
即λ²b²-2bccosA•λ+c²-a²≥0恒成立，
∵b²＞0，
∴△=4b²c²cos²A-4b²（c²-a²）≤0，
∴c²sin²A≥a²，
在三角形ABC中，由正弦定理可得sin²Csin²A≥sin²A，
∴sin²C≥1，又C为△ABC的内角，0＜sinC≤1，
∴sinC=1．
∴三角形ABC为直角三角形．
故选C．
点评：本题考查三角形的形状判断，考查向量的数量积，考查二次不等式恒成立问题，考查正弦定理，考查分析转化与综合应用、解决问题的能力，属于难题．