Question

（2012•大连模拟）一个口袋内有n（n＞3）个大小相同的球，其中有3个红球和（n-3）个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p．
（I）当p=

3

5

时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望Eξ；
（II）若6p∈N，有放回地从口袋中连续地取四次球（每次只取一个球），在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于

8

27

，求p和n．

Answer 1

分析：（I）根据p=

3

5

，可知5个球中有2个白球，故白球的个数ξ可取0，1，2，求出相应的概率，即可求得期望，或依题意ξ服从参数为N=5，M=2，n=3的超几何分布，可求期望；
（II）根据有放回地从口袋中连续地取四次球（每次只取一个球），在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于

8

27

建立不等式

C

2 4

p2(1-p)2＞

8

27

，从而可求求p和n．

解答：解：（I）p=

3

5

⇒

3

n

=

3

5

⇒n=5，所以5个球中有2个白球
故白球的个数ξ可取0，1，2．（1分）
p(ξ=0)=

C 3 3

C 3 5

=

1

10

，p(ξ=1)=

C 2 3 C 1 2

C 3 5

=

3

5

，p(ξ=2)=

C 1 3 C 2 2

C 3 5

=

3

10

．（4分）
Eξ=

1

10

×0+

3

5

×1+

3

10

×2=

6

5

．（6分）
（另解：依题意ξ服从参数为N=5，M=2，n=3的超几何分布，所以Eξ=

2

5

×3=

6

5

．
（II）由题设知，

C

2 4

p2(1-p)2＞

8

27

，（8分）
因为p（1-p）＞0，所以不等式可化为p(1-p)＞

2

9

，
解不等式得，

1

3

＜p＜

2

3

，即2＜6p＜4．（10分）
又因为6p∈N，所以6p=3，即p=

1

2

，
所以p=

1

2

，所以

3

n

=

1

2

，所以n=6．（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查解不等式，解题的关键是明确变量的取值与含义．