Question

【题目】已知函数 .

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：对任意的，有.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合导函数的解析式分类讨论有：

当时， 在上单调递增，在上单调递减；

当时， 在上单调递增，在上单调递减；

当时， 在上单调递增；

当时， 在和上单调递增，在上单调递减；

(2)原问题等价于在上恒成立，构造函数，据此可得，则恒成立.

试题解析：

（1）由题意得，

当时，由得且，

则

①当时， 在上单调递增，在上单调递减；

②当时， 在上单调递增，在上单调递减；

③当时， 在上单调递增；

④当时， 在和上单调递增，在上单调递减；

（2）当时，要证在上恒成立，

只需证在上恒成立，

令，

因为，

易得在上单调递增，在上单调递减，故，

由得，得，

当时， ；当时， ，

所以，

又，所以，即，

所以在上恒成立，

故当时，对任意的， 恒成立.