题目内容
（2011•湖南模拟）已知向量a=（1，2cos2
wx-1），b=（sinwx，1）（w＞0），函数f（x）=a•b（x∈R）最小正周期为2π．
（1） 求y=f（x）的解析式，并求函数的单调递增区间；
（2） 若f（a）=
，a∈（0，
），求sina的值．
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（1） 求y=f（x）的解析式，并求函数的单调递增区间；
（2） 若f（a）=
4
| ||
| 5 |
| π |
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分析：（1）利用向量数量积的坐标表示及辅助角公式可得，f（x）=
sin(ωx+
)，利用周期公式T=
可求ω=1，由2kπ-
π ≤x+
≤2kπ+
π可求单调增区间
（2））由f(α)=
，α∈(0，
)可求sin（α+
），cos（α+
），而sinα=sin[(α+
)-
]，利用两角差的正弦公式展开可求
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| π |
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| 2π |
| ω |
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| π |
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（2））由f(α)=
4
| ||
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| π |
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| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
解答：解：（1）∵
=(1，cosωx)
=(sinωx，1)
∴f(x)=sinωx+cosωx=
sin(ωx+
)
又函数的最小正周期T=2π
故ω=1，f(x)=
sin(x+
)
由2kπ-
π ≤x+
≤2kπ+
π 可得 2kπ-
≤ x≤2kπ+
函数的单调递增区间为[2kπ-
，2kπ+
]
（2）因为f(α)=
，α∈(0，
)
即
sin(α+
)=
∴sin(α+
)=
又α∈(0，
) ∴ cos(α+
)=
∴sinα=sin[(α+
)-
]=
[sin(α+
)-cos(α+
)]=
| a |
| b |
∴f(x)=sinωx+cosωx=
| 2 |
| π |
| 4 |
又函数的最小正周期T=2π
故ω=1，f(x)=
| 2 |
| π |
| 4 |
由2kπ-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
函数的单调递增区间为[2kπ-
| 3π |
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| π |
| 4 |
（2）因为f(α)=
4
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| π |
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即
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4
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∴sin(α+
| π |
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| 4 |
| 5 |
又α∈(0，
| π |
| 4 |
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| 4 |
| 3 |
| 5 |
∴sinα=sin[(α+
| π |
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| π |
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点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式，正弦函数的单调区间的求解，拆角的技巧在解题中的应用，是一道综合性较好的试题．
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