Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B=

π

3

，cosC=

1

3

，b=3

6

．（ I）求c的值；（ II）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）由cosC的值及C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由B及b的值，利用正弦定理求出c的值即可；
（II）由第一问求出的c的值，以及cosC和b的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，再由c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（I）∵cosC=

1

3

，且C为三角形的内角，
∴sinC=

1-cos2C

=

2 2

3

，又B=

π

3

，b=3

6

，
∴根据正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

得：c=

bsinC

sinB

=8；
（II）∵cosC=

1

3

，b=3

6

，c=8，
∴根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：64=a²+54-2

6

a，即a²-2

6

a-10=0，
解得：a=

6

+4或a=

6

-4（舍去），
则△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×（

6

+4）×8×

3

2

=6

2

+8

3

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．