Question

【题目】已知抛物线：，直线：.

（1）若直线与抛物线相切，求直线的方程；

（2）设，直线与抛物线交于不同的两点，，若存在点，满足，且线段与互相平分（为原点），求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）联立直线方程与抛物线方程，利用即可求解。

（2）由直线与抛物线相交可得：，由（1）可得 ，由线段OC与AB互相平分可得四边形OACB为平行四边形，得到C，利用得到，即： =-1，再将 ，代入即可求得，对的范围分类，利用基本不等式即可得解。

解：（1）法1：由得

所以，所求的切线方程为

法2：因为直线恒过（0，-4），所以由得

设切点为，由题可得，直线与抛物线在轴下方的图像相切，

则

所以切线方程为，将坐标（0，-4）代入得

即切点为（8，-8），再将该点代入得，

所以，所求的切线方程为

（2）由得

且，

所以，

因为线段OC与AB互相平分，所以四边形OACB为平行四边形

，即C

由得，，

法1：所以 =-1

又 ，又

所以 ，所以

法2：因为

又

，即