题目内容
已知椭圆C：| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 4 |
（1）若将椭圆C绕点P（1，2）旋转180°得到椭圆D，求椭圆D方程
（2）若椭圆C与直线y=kx+m （k≠0）相交于不同的M、N两点，且|AM|=|AN|，
求m的取值范围．
分析：（1）椭圆C的对称中心（0，0）关于点P（1，2）的对称点为（2，4），且对称轴平行于坐标轴，长轴、
短轴的长度不变．
（2）把M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆C相减，利用斜率公式及A在线段MN的中垂线上，求得
y1+y2 =-2，x1+x2=6k，把y=kx+m代入椭圆C：
+
=1化为关于x的一元二次方程，再利用判别式大于0，
求出m的取值范围．
短轴的长度不变．
（2）把M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆C相减，利用斜率公式及A在线段MN的中垂线上，求得
y1+y2 =-2，x1+x2=6k，把y=kx+m代入椭圆C：
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 4 |
求出m的取值范围．
解答：解：（1）由题意得，椭圆C的对称中心（0，0）关于点P（1，2）的对称点为（2，4），
且对称轴平行于坐标轴，
长轴、短轴的长度不变，故将椭圆C绕点P（1，2）旋转180°得到椭圆D的方程为
+
=1．
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2），∵|AM|=|AN|，∴A在线段MN的中垂线上．
把M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆C：
+
=1的方程得：
+
=1①，
+
=1 ②，
用①减去②得：
=
，
∴k=
=-
×
，再由中垂线的性质得
=
=
，
∴
=
，∴y1+y2=-2，∴x1+x2=-3k（y1+y2）=6k，
故MN的中点（3k，-1）．
把y=kx+m代入椭圆C：
+
=1得，（1+3k2）x2+6kmx+3m2-12=0，
∴x1+x2=6k=
，∴m=-（1+3k2），∴-mx2+6kmx+3m2-12=0，
由题意知，判别式大于0，即 36k2m2 +4m（3m2-12）＞0，
36×
×m2-12m3+48m＞0，m（m-4）＜0，∴0＜m＜4，
故 m的取值范围为 （0，4）．
且对称轴平行于坐标轴，
长轴、短轴的长度不变，故将椭圆C绕点P（1，2）旋转180°得到椭圆D的方程为
| (x-2)2 |
| 12 |
| (y-4)2 |
| 4 |
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2），∵|AM|=|AN|，∴A在线段MN的中垂线上．
把M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆C：
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 4 |
| x12 |
| 12 |
| y12 |
| 4 |
| x22 |
| 12 |
| y22 |
| 4 |
用①减去②得：
| (x1-x2)(x1+x2) |
| 12 |
| (y1-y2)(y1+y2) |
| -4 |
∴k=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 1 |
| 3 |
| x1+x2 |
| y1+y2 |
| -1 |
| k |
| ||
|
| y1+y2-4 |
| x1+x2 |
∴
| 3(y1+y2) |
| x1+x2 |
| y1+y2-4 |
| x1+x2 |
故MN的中点（3k，-1）．
把y=kx+m代入椭圆C：
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 4 |
∴x1+x2=6k=
| -6km |
| 1+3k2 |
由题意知，判别式大于0，即 36k2m2 +4m（3m2-12）＞0，
36×
| m-1 |
| 3 |
故 m的取值范围为 （0，4）．
点评：本题考查利用对称法求椭圆的标准方程，斜率公式、中点公式的应用，以及一元二次方程有两个根的条件，
属于中档题．
属于中档题．
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