Question

已知等差数列{a_n}的公差不为零，若S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求S₁，S₂，S₄的公比；
（2）若S₂=4，令bn=

1

anan+1

，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由若S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₃成等比数列．根据等差数列的前n项和公式，我们易求出基本量（即首项与公差）之间的关系．将基本量代入易得公比；
（2）先求数列的通项，再用裂项法求和即可．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由题意，得S₂²=S₁•S₄?
所以（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d）
因为d≠0，所以d=2a₁
故S₁，S₂，S₄的公比为

S2

S1

=4；
（2）由（1）可得

S2

S1

=4，又由S₂=4，
则S₁=a₁=1，a₂=4-1=3，
则d=a₂-a₁=3-1=2，则a_n=2n-1，
∴bn=

1

anan+1

=

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

×（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
∴{b_n}的前n项和为

n

2n+1

．

点评：解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．属中档题．