Question

【题目】已知二次函数满足以下两个条件：

①不等式的解集是；②函数在上的最小值是3．

（1）求的解析式；

（2）若点（）在函数的图象上，且．

（i）求证：数列为等比数列；

（ii）令，是否存在正整数，使得取到最小值？若有，请求出的值；若无，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）存在，数列能取到最小值.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件建立方程待定求解；（2）（i）借助题设运用等比数列的定义推证；（ii）借助已知结论运用比较法进行分析探求.

试题解析：

（1）∵的解集为，且是二次函数，

∴可设（），故的对称轴为直线，

∴在上的最小值为，

∴，所以．

（2）（i）∵点在函数的图象上，

∴，则 ，

∴，又首项，

∴数列为等比数列，且公比为2．

（ii）由上题可知，∴，

∵，

当或2时，；当时，，

即

所以当时，数列取到最小值．