题目内容

过双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若 $数学公式$ = $数学公式$ $数学公式$ ，则双曲线的离心率是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：分别表示出直线l和两个渐进线的交点，进而表示出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，进而根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 求得a和b的关系，进而根据c²-a²=b²，求得a和c的关系，则离心率可得．
解答：直线l：y=-x+a与渐近线l₁：bx-ay=0交于B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
l与渐近线l₂：bx+ay=0交于C（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），A（a，0），
∴ $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，b=2a，
∴c²-a²=4a²，
∴e²= $\text{[math]}$ =5，∴e= $\text{[math]}$ ，
故选C．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．