题目内容

任给8个实数x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8,在下列六个数x1x3+x2x4,x1x5+x2x6,x1x7+x2x8,x3x5+x4x6,

x3x7+x4x8,x5x7+x6x8中,试问(1)是否至少有一个是非负的?(2)是否至少有一个是非正的?(3)有六个数都为零的可能吗?

思路解析:此题主要考查向量的数量积的应用.向量作为处理问题、解决问题的一种工具,有时运用起来非常方便,在这里,给出的六个数的结构不免想起两向量的数量积的表达式,从而构造向量可以解决.

解:设平面上四个向量a=(x1,x2),b=(x3,x4),c=(x5,x6),d=(x7,x8).

(1)将a、b、c、d的起点移至同一点,则可知这四个向量两两夹角中至少有一个不大于90°,即这四个向量的两两之间的数量积至少有一个是非负的.而a·b=x1x3+x2x4,a·c=x1x5+x2x6,

a·d=x1x7+x2x8,b·c=x3x5+x4x6,b·d=x3x7+x4x8,c·d=x5x7+x6x8.故这六个数中至少有一个是非负的.

(2)同理,由(1)可知,这四个向量两两夹角中至少有一个不小于90°,故这六个数中至少有一个是非正的.

(3)若这四个向量均不为零,则两两所成夹角不可能全是90°,要做到四个向量互相垂直,必须至少有两个向量为零,而另两个向量中或者均为零,或者有一个为零,或者均不为零但满足对应坐标的乘积的和为0,故有六个数都为零的可能.

练习册系列答案
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定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数f(x)=x+
1
x
，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数f(x)=
1
x
-ax2在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．
（2008•上海一模）在统计学中，我们学习过方差的概念，其计算公式为
σ
2
 
=
1
N
[(x1-μ)2+(x2-μ)2+…+(xn-μ)2]，并且知道，其中μ=
1
N
(x1+x2+…+xn)为x1、x2、…、xn的平均值．
类似地，现定义“绝对差”的概念如下：设有n个实数x1、x2、…、xn，称函数g（x）=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|为此n个实数的绝对差．
（1）设有函数g（x）=|x+1|+|x-1|+|x-2|，试问当x为何值时，函数g（x）取到最小值，并求最小值；
（2）设有函数g（x）=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-x2|，（x∈R，x1＜x2＜…＜xn∈R），
试问：当x为何值时，函数g（x）取到最小值，并求最小值；
（3）若对各项绝对值前的系数进行变化，试求函数f（x）=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|（x∈R）的最值；
（4）受（3）的启发，试对（2）作一个推广，给出“加权绝对差”的定义，并讨论该函数的最值（写出结果即可）．
定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．
定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．

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