题目内容

如图所示，椭圆C： $数学公式$ =1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B．已知 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ 成等比数列， $数学公式$ - $数学公式$ =2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且k₁•k₂= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．

解：（Ⅰ）易知 $\text{[math]}$ ，（其中 $\text{[math]}$ ），则由题意知有a²=2bc．又∵a²+b²=c²，联立得b=c．∴a= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，∴2cos45°=2．∴b²=1a²=1．
故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
由 $\text{[math]}$ ?（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
将韦达定理代入，并整理得 $\text{[math]}$ ，解得b=2．
∴直线l与y轴相交于定点（0，2）．
分析：（Ⅰ）根据题意可知 $\text{[math]}$ ，通过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等比数列推断出a²=2bc，进而根据a，b和c的关系求得a和b的关系，利用 $\text{[math]}$ 求得b，则a可求，椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程，和M，N的坐标，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用k₁•k₂= $\text{[math]}$ 求得b，进而可求得直线l与y轴相交的点．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

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如图所示，椭圆C：

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B．已知|

|成等比数列，|

|=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且k₁•k₂=

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标；
（Ⅲ）当弦MN的中点P落在四边形F₁AF₂B内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．

如图所示，椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率e=

，左焦点为F₁（-1，0），右焦点为F₂（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且k1k2=

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF₁F₂内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．

如图所示，椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（0，c），F₂（0，-c）（c＞0），抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且

．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．

如图所示，椭圆C：

=1（a＞b＞0）的一个焦点为 F（1，0），且过点(

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

（2010•茂名二模）如图所示，椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．