Question

13．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-x²+2x．
（1）求函数 f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并求出其单调区间．

Answer 1

分析 （1）由函数的奇偶性和已知解析式，把-x整体代入可得解析式；
（2）由（1）画出函数f（x）的图象，数形结合可得单调区间．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=x²+2x，
∴函数 f（x）在R上的解析式为$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）画出函数f（x）的图象（如图），
数形结合可得函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），
单调递减区间为（-∞，-1）和（1，+∞）

点评 本题考查函数的解析式求解，涉及函数的奇偶性和单调性以及函数的作图，属中档题．