Question

（本小题满分13分）

        已知椭圆C的中心在的点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线与椭圆交于A，B两点，的面积为4，的周长为

   （I）求椭圆C的方程；

   （II）设点Q的从标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切，若存在，求出P点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【解】（I） 由题意知：，解得

∴ 椭圆的方程为       …………………………  5分

（II）假设存在椭圆上的一点，使得直线与以为圆心的圆相切，则到直线的距离相等,

： 

：      

化简整理得：   ……………  9分

∵ 点在椭圆上，∴

解得： 或 （舍）   ………………………… 11分

时，，，                   

∴ 椭圆上存在点，其坐标为或，使得直线与以为圆心的圆相切……………… 13分