Question

【题目】已知直线系方程（其中为参数）．当时，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为__________，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域，则区域的面积为__________．

Answer 1

【答案】 或

【解析】当时，直线为，即，当时， ，与轴交于点，当时， ，与轴交于点，∴直线与两坐标轴围成的三角形面积，设直线系中三条直线围成的是正三角形区域，先把整个直线系向下平移一个单位，这个区域不会变，直线系方程变为，如果令， ，带入上面方程，等式成立，因此是直线上的点对于某个固定的，注意到， 是以原点为圆心，半径为的圆的参数方程，而恰好是此圆的切线，因此直线方程都是这个圆的切线的集合，那么这些切线组成的正三角形有两种情况，如果圆是这个正三角形的内切圆，面积是，如果圆是正三角形的旁切元，面积是，故答案为(1) (2) 或．