Question

已知函数f（x）=e^x-x²-ax，如果函数f（x）恰有两个不同的极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）证明：x₁＜ln2；
（Ⅱ）求f（x₁）的最小值，并指出此时a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出导函数，根据题意，函数f（x）恰有两个不同的极值点x₁，x₂，即f'（x）=0有两个根x₁，x₂，令h（x）=e^x-2x-a，利用导数确定函数的单调性，从而得到函数h（x）的最小值，即可得所证结论；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中可知，h（x₁）=0，利用参变量分离法，可得a=e^x₁-2x₁，即可得到f（x₁）的解析式，利用导数，确定函数f（x₁）的单调性，从而确定最值，即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-x²-ax，
∴f′（x）=e^x-2x-a，
∵函数f（x）恰有两个不同的极值点x₁，x₂，即y=f'（x）有两个不同的零点x₁，x₂，
∴方程e^x-2x-a=0有两个不同的根x₁，x₂，
令h（x）=e^x-2x-a，h′（x）=e^x-2，
当x＜ln2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
当x＞ln2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，
∴h（x）在x=ln2时取得最小值．
∴x₁＜ln2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，h（x₁）=0，即e^x₁-2x₁-a=0，
∴a=e^x₁-2x₁，
∴f（x₁）=e^x₁-x₁²-（e^x₁-2x₁）x₁=（1-x₁）e^x₁+x₁²，
∴f′（x₁）=x₁（2-e^x₁），
∵x₁＜ln2，
∴2-e^x₁＞0．
∴当x₁＜0时，f′（x₁）＜0，f（x₁）在（-∞，0）上是减函数，
当0≤x₁＜ln2时，f′（x₁）＞0，f（x₁）在[0，ln2）上是增函数，
∴f（x₁）在（-∞，ln2）上的最小值为f（0）=1，此时a=1．

点评：本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点．属于中档题．